Despre transformările planului care păstrează ariile figurilor

Abstract

În acest articol se studiază transformările planului de coordonate, care păstrează ariile figurilor cuadrabile mărginite. Astfel de transformări se numesc izoarice. În primul rând, se arată că aria oricărei figuri cuadrabile mărginite este egală cu suma ariilor unei mulțimi, cel mult numărabile de anumite triunghiuri disjuncte două câte două și situate în această figură. Fiecare dintre aceste triunghiuri are o bază paralelă cu axa Ox. Este prezentat un exemplu de transformare izoarică, care nu este izometrică. În consecință, este dedusă formula pentru aria figurii mărginite de o elipsă, fără a utiliza calculul integral. Transformările planului, examinate în prezentul articol, sunt esențiale atât pentru domeniul matematicii, cât și pentru domeniul economic. Pentru o transformare netedă a planului de coordonate, o transformare reprezentată de două funcții cu două variabile, cu derivate parțiale de ordinul întâi continue pe întregul plan, se demonstrează un criteriu conform căruia această transformare este izoarică. CZU: 514.174; JEL: C00, C02; DOI: https://doi.org/10.53486/econ.2024.127.072 ************************************************************************************************************************************ In this paper are studied the coordinate plane transformations that preserve the areas of bounded quadrable figures. Such transformations are called isoarcs. First, it is shown that the area of any bounded quadrable figure is equal to the sum of the areas of at most countable manifold of certain triangles disjoint two by two and located in this figure. Each of these triangles has a base parallel to the axis Ox. An example of a nonisometric isoaric transformation is shown. Consequently, the formula for the area of the figure bounded by an ellipse is derived without using integral calculus. The plane transformations, examined in this article, are essentisl to both fields, mathematics and economics. For a smooth transformation of the coordinate plane, is given a transformation represented by two functions of two variables with continuous first-order partial derivatives on the whole plane, so as a criterion is proved according to which this transformation is isoaric. UDC: 514.174; JEL: C00, C02; DOI: https://doi.org/10.53486/econ.2024.127.072